ぶひんブログ

  【イントロ】 今年もクリスマスがやってきました。 K otoshi・・・ K urisumasu・・・ 聖しこの夜ですね。 K iyoshi・・・ K onoyoru・・・ ということで、今回の記事では KK変換（Kramers–Kronig変換） について、Chat系AIを使って実装に取り組んでみた内容をまとめてみます。 ＊本記事は あらBさん主催のアドベントカレンダー2024 の投稿記事です。 【KK変換とはなにか】 　WikiによるとKK変換とは、 「線形応答における周波数応答関数の実部と虚部がヒルベルト変換で関係づけられていることを示した式」 ということになります。 　具体的には、複素関数 H(ω)＝H_R(ω)＋iH_I(ω)を考えます。複素数ωの複素平面の上半面で解析的で、下半面にのみ極をもつとき、極を避けた半円状の積分路を選択すると    　 ∮H(ω')/(ω'-ω)dω'＝０ が成り立ちます。 　ここで、ω→∞でHが漸近的に０になるとすると、積分路の大円の半径を大きくとることで、 ‐iπH(ω)＋P∫H(ω)/(ω'-ω)dω'＝０ が導かれます。ただし、ここでPは主値積分を表します。 　このとき、Hの実部と虚部は独立ではなくなり、以下のような関係式を満たします。 Wikiより 　この関係式をKramers–Kronigの関係式とよび、この関係式を用いて実部と虚部を変換する処理をKK変換と呼びます。 　更にここで、インパルス応答が常に実数であることを考慮すると、Hの実部は偶関数、虚部は奇関数であると制限が加わります。この制限に基づき、積分範囲を０から正の無限大に置き換えると、以下式が得られます。 Wikiより 　この関係式を用いることで、周波数応答関数の実部または虚部から、もう一方の値を取得することが可能になります。この結果は、刺激よりも前に結果は生じないという因果律を反映するものとなっています。 ＊ここの式の導出をちゃんとフォローできてないので、参考文献あればコメント下さい＞＜ 　この解析手法により、赤外分光法による反射率測定から光学伝導度を求めたり、中性子散乱測定により動的帯磁率の実部と虚部を求めたりすることが可能となります。 今回の記事では、特に反射率から光学伝導度を求める方法について着目...